5个半月宝宝咳嗽可以采用以下方法进行处理：

1.宝宝咳嗽可能是因为感冒而导致，这个时候需要对感冒进行治疗，可以给宝宝服用感冒药物，如小儿氨酚黄那敏颗粒、小儿感冒灵颗粒等，都可以起到治疗作用。如继发细菌感染，则要注意在医生指导下增加抗生素药物进行治疗。

2.过敏性咳嗽，主要是接触过敏性的物质而引起的慢性咳嗽。咳嗽主要以阵发性、刺激性干咳为主，可以采用抗过敏的药物进行治疗，如扑尔敏等。同时也可以采用糖皮质激素雾化吸入进行治疗，都可以起到缓解的作用。