喉癌患者应该进行的相关检查主要包括以下几方面：

第一，首先应该进行常规的体格检查，比如颈部的查体以及喉外形，和颈部的淋巴结的望诊和触诊，观察患者喉部是否出现肿大现象。

第二，可以观察患者喉部的各个部位的喉镜检查，比如间接喉镜，这种检查可以在门诊完成，之后还需要进行纤维喉镜或者直接喉镜检查，可以取得患者的喉部肿瘤组织，以便后续进行癌细胞的组织检查。

第三，需要进行相关的影像学检查，比如喉部X射线、CT以及核磁共振的相关检查等等。