久咳不愈应该挂呼吸科、耳鼻喉科以及消化科。

首先应该挂呼吸科，医生一般会询问咳嗽具体的性质以及伴随的症状，然后会问一些病史，比如有没有基础的肺的疾病，还会做一些肺部的听诊等体格检查，再检查一些血常规、胸片、肺功能等，根据这些结果，综合做出诊断。如果是呼吸系统的疾病，就是根据病因相应的作出治疗。

如果不是呼吸系统的疾病，需要挂耳鼻喉科或者是消化科的号，检查一下喉镜以及胃镜、PH值检测等，看是不是像慢性的咽喉炎或者胃食管反流病等引起的咳嗽。